(1)求折痕CE所在直线的解析式;
(2)求点D的坐标.
考点:翻变换(折叠问题);待定系数法求一次函数解
专题:待定系数法.
分析:(1)由∠ECO=∠DCE=30°,故有OE=OCtan30°=1,则点E(-1,0),由待定系数法求得CE直
(2)过点D作DF⊥AO,则由三角函数的概念可求得EF、DF的值,从而得到点D的坐标. 解答:解:(1)由题意知,∠ACO=60°,OC=
3,
∴∠ECO=∠DCE=30°,OE=OCtan30°=1
∴点E(-1,0),点C(0,3)
设CE的解析式为y=kx+3,
把点E的坐标代入得:0=-k+3,
∴k=3,
∴CE
(2)过点D
∴DF=DEsin∠DEF=1×32=32,EF=DEcos∠DEF=1×12=12
∴OF=OE+EF=1+12=32
∴D(-32,32);(4分)
例7 如图7-4,将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼出不
专题
——唯一性、存在性的开放性问题(方法与技能
一、教学目标
(一)知识与技能目标
1(掌根据图中几何信息求解二次函数的解析
2(掌三角形、四边形的综合几何证
3(
(二)过程与方法目标
1(经历比不同数学问题的过程,逐步形成同中求异、中求同的思维
2(经历不同数问题的思考方法渗透,逐步养成学生按“四六步骤”进行思考的维习,提高学生思考问题
3(经历等变换拼图的过程,渗透存在性问题中拼图分类
(三)情感、态度与价值观目标
1(进一步培学生严谨的科学态度:分类标准要一,且不重复、不遗漏;理中要言之有理落
2(进步培养学生不畏艰难,勇于探索的思想品
3(通过视压轴题,让学生感受成功的可能,从而信自已是最
4(以数问题为载体,帮助学生形成解决问题的经验,体现数学的
二、教学重点与难点
重点:形解答新编函数与几何综合的唯一性、存在性放性问题的
难点:养联想转化、试一试的习惯、分类拼图的不遗漏相关计算的
三、
四、教过程 A(一)基础自查(压轴题分解
具体活动: FE1(师出示两个压轴问题的分解问题(压轴题第一
问服务),请学们看屏幕,独立完成这两个题,同时请两位学生上板展示(大约3
CB问题1((05北京市中考题改编,基础层)如图,
直角三角形纸片位线剪开,移动?AEF可以拼出不同形状的y边形,请画草图示意所拼不的特殊
3问题2((原函数压轴题1问改编,基础层次)在矩形ABCD
2DC中,AB=4,BC=2,A为标原点,AB所在的直线为轴,建立x1y直角坐标系(然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,使点B落在-3-2-145123xABG轴的E点上,则C和D点依次落在第二象
点上(图)(求经过B、E、G三点的二次函数解析
2(公布答案;
问题1
AACBCB行四边形CB等腰梯形矩形教案 第 1 页 共 9
12问
3(反正确率及错误所在,以便详略得当的讲
公布答,同桌同学交换批改,举手统计学生完成情
(二)点梳理:从知识、方法、易错点三个维度
具体活动:
1(结合自查学生的错误或解答方法的不同,出思考方法、解答思路、逐步形成数学思
问题1:估计个同学拼不全(分析为什么,引出思考方法((或者:问如何知道案只这三种呢,从面引出
思考
根据问题信息,想拼图方法:移、旋、翻折;联想特殊四边形概念:所拼图形只有四条边,可以是平行四边形、矩形、正方形、菱形、形(从而将问题转化为:利用全等变换将相等边重合(由于等边不一种况,此需按相等边重合分类讨论(针对每类情况,拼试一试即可得
解答思
(1)AFFB重合:将?AEF绕F点时针旋转,则得一个
(2)AF与BF重合:图形不变(如
(3)AECE重合:将?AEF绕E点时针旋转,则得平行四
(4)AE与EC重:将?AEF沿AE翻转后,再沿EC平移,使AEEC重合,则得等腰梯形再继将?AEF翻转,使,则得等腰梯
(5)EF与EC重合:此类情形与(2)(3)相同;
(6)EF与BC由于不相等,不可能重合,所以不考
(说明:每情形所作变换方法不唯一,只要能得到答案均,简便方法最
数学
问题2:据设解析式为一般式、顶点式、两点式的不,引出思考
思考
2y,ax,bx,c(a,0)y,a(x,x)(x,x)根据问题信息,联想解析式概念:、、 12
2b4acb,2ya(x),,,,从而将问题化为求待定系数的值(要待定系数的值,
想求值的经,将问题转化为:建立方程(为了使运算简便,根题中信息选择
y,a(x,x)(x,x)的途经:设解析式为
解答思:(与解应用题类似,但又有不
(1)
(2)列:方程组(根据图中信息,确定点的坐标,代标满足解析
(3)解:方程(组);
(4)
数学思方法:待定系数,数形结合,方程思
2(
教案 第 2 页 共 9 页 2009-5-25
1.特殊四边形;,
,2.平、旋转、翻折三种全等变换;,知识: ,3.
,4.求解析式;,
、思考方法:相转化试一试;,方法: ,思想方法:全等变换、分类讨论、待系数、数形结合、方
易错点:分类标准不统一、遗漏;计算粗心或畏
(三)题精析(压轴题分解点及新编压轴
问题3(档,06中考命题自编证明题改编,压轴中的唯一性
已知:如,矩形ABCD中,E是BC边上的点,AH?DE
AD且BE=EH(试探究AD=DE成立吗,若成立,证明;若不
说明
变式1:
CEB1?ADH的值为成立吗,若成立,请证明;若
明理
1变式2:问题3的不变,探究变为:若?HDC是等腰?,则?ADH的值为成Cos2立吗,若成,请证
具体活动:
1(师:出示压轴题分解问题(中档);
2(
3(师:思考方法引导,板书方法??联想转化、试一
4(生:经联想、转化、试一试的过程,从而找到解答路,感受成功
5(
6(生:体完成解答过程((独立完成,同桌相互查,集体
7(变式练:(变式1说思考方法及解答思路,式2作为
问题3分析:
1(思方法:联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试
联想转化:据题中问题息,先将探究AD=DE是否成立,转化为求证:AD=DE成立或不成立(一般根据成立联想转化,从而得出结论(根据成立想概、质判定、公式法则及解决相关问题的经验,而将问题
(1)联想念,将问题转化为:通过计算来证明:求线段长,较大小,得出
(2)联想性质,将问题转化为:证一个三角形中,角等,从而对的边等;或证两个三角形等,
教案 第 3 页 共 9 页 2009-5-25
顺藤摸瓜、向追朔试一试:根据题中信息选择最愿意试的途(证两个三角
为什么,)
师强调:当选择的第一途径试不通时,一定要另选途
(解答思路:藤摸瓜、逆向追朔试一试((1)
(3)得结论)(
3(解:成立(证明如下: AD如图,(1)连结AE(
?四边形ABCD是
CEB?AD?BC,??ADH=?DEC.
又??AHD=?DCE=,??AHD??DCE(?AD=DE( 90:
变式1分析:
1(思方法:联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试
联想
1)联想定,将问题转化为求某直角三角形中两条线段长之,进一步转化
求两线段的长;
(2)联想则,已知特殊角度数可以直接求值,将问题转化为?ADH的度
求度数的经,需建立角度大小的方程(根直角三角形两锐角和可以建立方程(
于一个等式两未知数能,因此问题进一步转化为探索?CEH与?HDC的数量关系) 顺藤摸瓜、逆向追朔试一试:根据题信息择
2(解答思路:、列(探索等量关系)、解、答(与自查2类似,但有所不同)( 3(解:成立(
AD??AHD??DCE ,?HD=EC=HC.
??CEH=?CHE,?HDC=?HCD.
H??CEH=2?HDC(
?在Rt?DCE中,?HEC=(??ADH=( 60:60:CEB
1,Cos60:,所以?ADH( Cos2
小结:种形式的问题叫唯一性开放性问
y问题4:(压轴题,难,09自编,第2问是唯一性、第2BA3问是存在性问题) EQABCDABDC?如图,在梯形中,,,且,,BCD901AB,1EFBC,2tan2,,ADC,,(梯形内一
FDEBF,,,,EDCFBC形外一点,且,(现以DC所
Ay为x轴,过点的直线为轴建立如图所示的坐标
教案 第 4 页 共 9 页 2009-5-25
2D(1)三等分线段,且,一条抛物线经过、、三点,求这
物线的解析式;
(2)图中等腰直角三角形吗,若是,请证明;若不是,
(3)作?ADO的中位线MN,并将?AMN进行平移、旋转、翻
四边形拼成殊四边形((1)抛物线上是存在点P,使它成为
MDP于、、、四点的顶点(若存在,请求出点坐标;若不存
具体活动:
1(请生独立尝试思考,并展示思考方
2(比问题4与问题1、2、3的联系与区
3(
(1)
(2)问:联想转化、试一试;
(3)问:分类讨论、全等变换(
4(
(1)
(2)联想转、顺藤摸瓜、逆向试一试(全等:边等;等量加等量); (3)分类讨论,全等变换试一试,分情况解与判断是否在抛物线上(与前面问题不同)(同时揭示:第3这样问题是分类讨论的存在性问题,与以前动的分类讨论有
5(学独立完成解答过程(一位学生上黑板展
ABCDABDC?:(1)?在梯形中,,?BCD=,??ABC=( 90:90:又??AOC=,?四边形AOCB为
?点C(1,0),点A(0,2)(
AO
设过D、Q、C三点的抛物线的解析式为yaxx,,,(1)(1)( y
2BA4由已知,得
?ECF(2)解:是等腰直角三角形(证明如
DEBF,,,,EDCFBC?,,又?DC=BC=2,
??CED??CFB(?CE=CF,?DCE=?BCF(
?ECF??ECF=?DCB=(?是等腰直
教案 第 5 页 共 9 页 2009-5-25
(3)答:存在(
M如图1,?绕点逆时针旋转,得到?,
yy
11P P11MNMN
-1-1110 0xxDCDC00
图1
?NP=OD=1,?点P(-1,1)( 11
44当
442
NOPMDOP如图2,将?绕点顺时针旋,得到,此时四边形
yy
1 1MMPNPN 22
11xx00
图2
1111MN=P?N=OD=,ON=OA=1,?P(,1)( 222222
141414422当时,,所以点P(,1)在抛物
yNOP3)如图3,将?沿轴翻折再平移
1yyP形(点(,0)( 322AA2
11NMM P3
11xx00P3
图3
教案 第 6 页 共 9 页 2009-5-25
14144422当时,?0(所以点P不在抛物线
4412综上述,在抛物线上,存在一个点(,1),使得?经过平
翻折、转变化后,与四边形MDON构成特殊的四边
(四)考点再梳理
1(
1.特殊四边形;,
,2.移旋转翻折;、、,,知识: 3.拼
,4.解析式,判断点是否在抛物线
,5.三角形与四边形证明与计算.,
技能:思考题的步骤、解答唯一性、存在性题的步骤、小问间独立考与综合思考
、,思考方法:联相转化选择试题,方法: ,思想方,全等变换、分类讨、待系数、数形结合、方
易错点:分类标准不统一、遗漏;计算粗心或畏
2(揭示课题标题:新编函数与几何综合的唯一、存在性开放性问题唯一、存在性的开放
本课重点:形成解答新编函数与几何综合的唯一性、在性开放性
难点:养成想转化、试一试的习惯、分类拼的不遗漏及相关计算的确( (五)
问题5((容易题,拼图)下列矩形中,按虚线剪开后,既能拼出平行四边形梯形,又能拼出三角形的是图形_____________(请填图形下
答案:?(
问题6((自编压轴题,巩固提高)(有时间说思路,没时间就作为
DBE如图,中,,,于,平分,且?ABCBC,2,,ABC45?CDAB,,ABC
EDHBE于,交于点是边的中点,连结与相交于点(以BEAC,CDFH,BCG点H为原点,BC在直线为轴建立如图所示的
(1)一抛物线经过D、B、C三点,求这条物线的解
yA,2(2)线段BG与CE之间存在数量关系吗,BGCE
D1若存在,证明;若不存在,请说明理由; E(3)将?DHC进行平、旋
B四边形?BDH成特殊四边形((1)抛物线上是否存在点P,C-11xH它成为所拼特四边形
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求出P
具体活:请生说解答思路((具体过程作为作
解:(1)?CD?AB,??BDC=90?(
1?H
?B(,1,0),C(1,0)(
又??ABC=45?,??BCD=90?,?ABC=45?(
??ABC=?BCD,?BD=CD(?点D在y轴上(?D(0,1)( 依题意可设
2y,,x,1则1=(0,1)(0,1)(解之,得=,1(?物线的解析式
(2)答:线段BG与CE之间存在数量关系( BGCE,2
证明:连结CG(
?H是BC的中点,DH?BC,?CG=BG(??GCB=?GBC( 又??ABC=45?,BE平分?ABC, yA??GCB=?GBC=22.5?(
D??CGE=?GCB,?GBC=45?( 1
E?BE?AC,
GCECE?( CGCE,,,2Bsinsin45,:CGEC-11xH?( BGCE,2
(3)存在符合条件的点P(理由如
?将?DHC平移、旋转、翻折(次数不)后的三角形与?BDH能拼成特殊四
?拼成的特四边形除D、H、C三点外第四个顶点的坐标只
1)
2经检验,点(1,1),(,1,1),(,1,,1)均不在(1)
不存
(
1(知识与技能方:一步学到什么,还有什么疑点, 2(过程与方法方面:思维习惯及方法有什么新的收, 3(情感、态度与价值观方面:有
(七)作业
1(中
A2(轴题:完成精练2,并看结果与例2有什么不
3(中
AB于点D,点D作DG?BC,交AC的延长线G(延长CBBC于E,
(1)求证:?ABE??ACD;
(2)过点EEF?DC,交DG于点F,?AFE, SinDGF 五、板
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中考
——透新编唯一性、存在性的开放性
黑板左边:
一、自
(拼图:思路是分类讨论、全等变换试一试;
问题2(
三、
六:小结
1(知与技能方面:进一步学到什么,还有什么疑
2(过与方法方面:思维习惯及方法有什么新的收
3(情感、态度与价值观方面:有什么新收获, 黑板右
四、精讲
问题3
思考方:联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试
解答思路:证?ABE??AHE;证?AHD??DCE;得
变式1答思路:设、列(探索等量关系)、解、
问题4 解答思路:
(1)与自查2相同;
(2)与例1第一问相同;
(3)分类拼图、求解判断(
五、精练
练1 解答思路:与自查1类似;
练2 解答路:与例2同(该题与例2不同的是抛物线上存在符合条件
七:作业
1(完成精练2的解答过程;
2(
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直角三角形
特殊三角形——直
概念:一个角是直的三角形叫做直角三角形,直角三角形可以
要点一:直角三角
1. 直角三角形的两个
2. 两相等的直三角形叫做等直角三角形; 3. 等腰直角角形的两个底相等,且等于45 4. 直三角形斜边上的中线等于斜边
5. 在直角三角形,如果一个锐角等于30,那么它所对的直
?
?
要点二:直角三角形
1. 一个角是直角三角形是直角三角形; 2. 有两个角互余
3. 一边上的中等于这条边的一半的三形是直角三角
例1.若一三角形一个内角是另两个角的差,则这个三角形是 ( ) A.锐角角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等
例2.若三形的一边等另一边的一半,则
?
?
?
题型一:直角三角形两
【例1】在直角三角中,有一个锐角为52,么另一个锐角度
【例2】如图,ADRt△ABC的斜边BC上高. (1)写
(2)图中余的角有几对,请你
题型二:直三角形斜边中线等
【例3】知:如图,AD是△ABC的角平分线,BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB
【例4】如图,已知?C =90°,?A=38°,点D是AB的中点,CF=AD,求?E的度数.
题型三:直角角形中30°所对的直角边
【例5】图,Rt△ABC,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高.写出
【例6】如图,AD∥BC,AD =求证:∠1=∠2=∠3.
1
BC,CE垂直平分AB,垂
巩固练习
1.直角三角中有一个30°的角,那么它所对边就等于 ( ) A.另条直角边的一半 B.斜边上的高 C.直的平分线 D.斜
2.如图:AD是Rt△ABC斜边上的高,?CAD=30°,则下列关系式成立的
D.AB=2AC
3.如图,在△ABC中,AB=AC,?B=30°,AD?AB,AD=4,则下列各式中
A.AB=8 B.BC=16 C.DC=4
D.BD=10
4.如图Rt△ABC中,AC=BC,?B=45°,AD是角平分线,DE? AB于E,则下列各式中不成
C.△ACD≌△AED
D.CD=BD
5.锐角三角ABC中,AB=AC,它的三条AD、BE、CF相交于点H,那么该图形中全
C.5 D.4
6、在△ABC中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD⊥AB于D,AB=a,则DB等于( ) A.
aaa
B. C. D.以
7、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC
8、小明在高为20米的楼C处,测得一条河边一点A俯角为30°,河对岸一点B 的
A B
要点三、勾股定理
直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方.如果直角三角
a,b,斜
注意:(1)勾定理揭示了一个直三角形三边
(2)利用勾股定,当设定一条直角边
段长可以建立方程求,这样就将数与形有机结合起来,达
(3)理解勾股定理的
a2?c2?b2,b2?c2?a2, c2??a?b??2ab.
要点四、勾股定
方法一:将四个
图(1)中
,所以
.
2
方法二:将四个全等的角三角形拼成如图(2)所
,所以
.
方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形
要点五、勾股定
1. 知直角三角形任意两条边长,求第三边; 2. 用于解决带
3. 利用
的线段.
,所以
.
类型一、勾股定理的
1、在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对
(1)若a=5,b=12,求c; (2)若c=26,b=24,求a. 【思路】利用勾股定理a?b?c来求未知边长. 【答案】
解:(1)因为△ABC中,∠C=90°,a?b?c,a=5,b=12,
2
2
2
2
2
2
所以c?a?b?5?12?25?144?169.所以c=13.
(2)因△ABC中,∠C=90°,a?b?c,c=26,b=24, 所
【总结】知直角三角形的边长,求第三边长,关键先弄清楚
【变式】在△ABC,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对
(1)已知b=2,c=3,求a;
(2)已知a:c?3:5,b=32,求a、c.
类型二、利用勾股
2、如
试说明AN?BN?AC.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
【答案】
解:因为MN⊥AB,所以AN?MN?AM,BN?MN?MB,
所以AN?BN?AM?BM. 因AM是中线,
又因为∠C=90°,以在Rt△AMC中,AM?MC?AC,
【总结】明带有平的问题,主要想是找到直角三角形,利用勾股定进行转化.若有直角三角形,常常通过作垂构造直角三角形,再用勾股定
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3、作长为
、
、
的线段.
【思路】由勾股定理得,角边为1的等腰直角三角形,斜长就等于和1的直角
作法:如图所示
,类似地可作
.
,直角边为
(1)作直角边1(单位长度)的等
(2)以AB为一条角边,另一直角边为1的Rt(3)顺次这样做
的长度就是
、
、
、
.
,斜边为
、
; 、
、
,这样斜边
【总结】(1)以上作根据勾股定理均证明是正确的;(2)取单位长度时可定,一般习惯国际标准的单位,如1cm、1m,我们作图时只要取定一个长为单
类型四、利用勾股定理解
4、一圆饭盒,底面半径为8cm,高为12cm,若往面放双筷子(精细不计),那么筷子最
【答案】
解:如图所示,因
则在Rt△BCD中,BD2?DC2?BC2,
所以BD?
?20(cm).
答:筷子最不超过20cm,可正好盖上盖. 【总结】本题实质是求饭盒中任意点间的最大距离,其最大距离是以饭盒两底的一对平行径和相应的两条高组成的长方形的对
【变式】如图所示,一旗在离地面5m处断裂,旗杆顶落在离底部12m
5、如图,矩形片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB
6
【答案】D; 【解析】
解:设AB=x,则AF=x,
∵ △ABE折
由勾股定理解得FC=4,
22
在Rt△ABC中,x?8??x?4?,解得x?6.
2
【总结】折叠问题包“全等形”、“勾股定”两大问题,最
【巩固练习】
一.选择题
1.在△ABC中,AB=12,AC=9,BC=15,则△ABC
A.108 B.90C.180D.54
2.若直角三角形三边长分别为2,4,x,则x的值
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 明想知道学校旗杆的高度,他现旗杆上的绳垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉5米后,发现下端刚好接触面,则旗杆的高是( ) A.12米 B.10米 C.8米 D.6米 4.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB?AC?BC的
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
5.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD等于( ) A.4 B.6
C.8
D.2
2
2
2
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=15cm,正方形ADEC和正方形BCFG的面积
2
B.200cm D.
2
C.225cm
2
二.填空题
8.甲、乙两人时从同一地点出,已甲往东走了4km,往南走了3km,此时甲、乙两人相距______km. 9.如图,有一块长方形圃,有少数人为了避开拐角走“捷”,在花圃内走出一条“路”,他们仅仅少走了______m路,却
第9题 第10题
10.如,有两树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟一棵树的树梢飞到另一棵树
11.图,直线l经正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的
形的边长是______.
第11题 第12题
12. 如,在矩纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=EC.若将片沿AE折叠,点B恰好与AC
三.解答题
13. 如图四边形ABCD的周长为42,AB=AD=12,∠A=60°,∠D=150°,求BC的长.
14. 已知在三角形ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=3,BD=5,求AC的长.
15.图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D与点B
要点一、判定直角三角形全等
由角形全等的件可知,对于个直三角形,满足一边锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角就全等了.这里用到的“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理.
在两个直角角形中,斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等(可以写成“斜边、角边”或“HL”).个判定方法直角三角形所独有的,一般三角形
注意:(1)判定两个直
两个直三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定,再考虑用一般
(2)应用“斜边、直角边”判定两个直角角形全等的过
这个条件,书时必须在两个三角形前
【典型例题】
类型一、直
1、 已知:
求证:(1)AB=CD:
(2)AD∥BC.
【思路】先由“HL”Rt△ABD≌Rt△CDB,再由内错角相等
证明:(1)∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABD=∠CDB=90°
在Rt△ABD 和Rt△CDB中, ?
?AD=BC
?BD?DB
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)
∴AB=CD(等三角形对应
【总结】证明两个直角三形全等,首先考虑用斜边、直边定理,再考虑用一
【变式】已知:如
求证:ED⊥AC.
2、 判断满足下列条件的两个角三角形是否全等,不全等的“×”,全等注明理由: (1)一锐角和这个角的边对应相等;( ) (2)一个锐和斜边对应相等; ( ) (3)两直角边对应相; ( ) (4)一条角边和斜边对应相等. ( ) 【答案】(1)全等,“AAS”;(2)全等,“AAS”;(3)全等,“SAS”;(4)全等,“HL”. 【解】理解题意,画出图形,根据全等角形的
【总结】直三角形等可用的判定方法5种:SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 【变式】下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画
(1)一条直边和斜边上高对相等的两个直角角形全等.( ) (2)有两边和其中一上的高对应相等的两三角形全等.( ) (3)有两边和
3、已知:如
求证:AD=BC;
【思路】如想去证两个的直角三角形全等话,会发现除了直角和对顶角,就没有别的件了,AC=BD用不上,所以另想办法,接DC,在Rt△ADC与Rt△BCD中,问题
【答案】
证明:连接DC
∵AD⊥AC,BC⊥BD
∴∠DAC=∠CBD=90°
在Rt△ADC与Rt△BCD中,
?DC?CD ? AC=BD?
∴Rt△ADC与Rt△BCD(HL)
∴AD=BC .(全等三角形
【总结】证明的候要考虑所给的条件用上,所给
【变式】已知,如图,AC、BD相交于O,AC=BD,∠C=∠D=90° .
求证:OC=
OD.
4、如图,将等腰角三角形ABC的直顶点置于直
两点分别作直
出一对全等角形,并写出证明它们
【答案】
解:全等三角形为:△ACD≌△CBE.
证明:由题意知∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE
在△ACD与△CBE中,
??ADC??CEB?90?? ??CAD??BCE
?AC?BC?
∴△ACD≌△CBE(AAS).
【总结】本题考查三形全等的判定方法和全等角形的性质,判
方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判
三角形全等时,必有边的参与,若有两边
.
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.一直角对应相等的两个直
B.斜边相等的两个直角
C.斜边相等的两个等腰直角
D.一边长相等的两等腰直角
2.如,AB=AC,AD⊥ BC于D,E、F为AD
A.3 B.4 C.5 D.6
3. 能使两直角三角形全等的条件
A.斜边相 B.
C.两锐角对相等 D.两
4. 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中, ∠C = ∠C' = 90?, ?A = ∠B', AB =A'B', 那
么下列结论中正确的是( )
A. AC = A'C' B.BC = B'C' C. AC = B'C' D. ∠A = ∠A'
5. 直角三角形边上的中线把直角三角分成的两个三
A.形状相同 B.周长相等 C.面积相
6. 两个直角三角中,若有一对角对应相等,一边对应相等,则两
A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是
二、填空题
7.如,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判△BCD≌△CBE
第7题 第8题 第9题
8.
9.
10. 如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,EC⊥AC,AC=EC,若DE=2,AB=4,则DB=
______.
第10
11.两个长度相同滑梯,即BC=EF,左边梯的高度AC与右
DF相等,则∠ABC+∠DFE=________.
12. 如图,已知AD
∠BAD=_______.
三、解答题
13. 如图,工人师要在墙壁的O处用钻打孔,使孔口从墙壁对
是35cm,B点与O点的铅直距离AB长是20cm,工人师傅在
上截取OC=35cm,画CD⊥OC,使CD=20cm,连接OD,然
果钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?
14. 如图,已知AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF. 求证:AC=EF.
15. 如图,已知AB=AC,AE=AF,AE⊥EC,AF⊥BF,垂足分别是点E、F.
求证:∠1=∠2.
直角三角形
直角三角形
一:直
性质1:角三角形直角边的平方等于斜边的平方。如图,∠BAC=90°,则AB²+AC²=BC²(勾
性质2:在直角三角
射影定理图
性质3:直角三角形中,斜上的中线等于斜边的一半。(即直角角形的外心位于斜边的中
性4:直角三角形的两直角边乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质5:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上高,则有射影定理如: 1 AD)×2=BD·DC, 2(AB)×2=BD·BC , 3(AC)×2=CD·BC 。 等积 4 ABXAC=ADXBC (可用面积来证明) 5 直角三角的外接圆的半径R=1/2BC 6
性6 直角三角形边上的中线等于斜的一半; 性质7 在直角三形中,如果一个锐角等30°,那么它所对直角边等于斜边的一半; 在直角三角形中,如果有条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边对的锐角等于30°; 三:直角三角形的判定 判定1:有一个角为90°的三角形直角
判定2:一个三角形,如一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以
判3:若a的方+b的平=c平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直三角形(勾股定理逆定理)。 定4:若一个三角形30°内角对的边是某一边一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直
判定5:两锐角互余的三角形是
判6:在直三角形中,60度内所对的直角边等斜边的 根号3/2 判定7:在证明直角角形全等的时候 可利用HL 两个三角的斜边长应相等 以及一
所勾股定理,就是指“在角三形中,两条直角边平方和等于斜边的平方。”最早对勾股定理进行明的,是三国时期吴的数学家赵爽。赵爽创制了一“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详
图)。赵爽的这个证明可谓别具匠,极富创新意识。他用几何图的截、割、拼、来证明代数式之间的恒关系,既具严密性,又具直观性,为中古代以形证数、形数统、代数和几何紧结合、互不可分独特风格树立了一个典范。以后的数学家多继承了这一风格并且有发展,只是具体形的分移补略有同而已。例如稍后一的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数方法,中国古代数学家们对于勾股定理发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出的“形数统一”的思想方法,更具有学创新
据不完统计,勾股定理证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍
【证法1】(赵
以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜边作四个全的直角三形,则每个直角三角形
2
直角三角形拼成如图所
∵ RtΔDAH≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o,
∴ ABCD是一边长为c的正
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面
2∴ a2+b2=c2.
【证法2】(课本的证) 做8个全的直角三角形,设它们的两条直角边长别为a、b,边长为c,再做三个边分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样
正方形.
从图上可以看到,两个正方形的边长都a + b,
11
a2+b2+4?ab=c2+4?ab, 整理得 a2+b2=c2.
22
【证法3】(1876年美国总统Garfield证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边作个全等的直角三角形,则每个直角角形的面积等1ab. 把这两个直角三角
2
在一条直线上.
∵ RtΔEAD≌ RtΔCBD, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.
∴ ΔDEC一个等腰直角三角形,它的面
2
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯
【闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏昏的美景,他就是美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。走着着,突然发附的一个小石凳上,有两个小孩在聚精神地谈论着什么,时而声争论,时而小声探讨。由于好心驱使伽菲尔德声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底干什么。只见个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于伽菲尔德便他们在干什?只见那个小男孩头也不抬说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,么斜长为多少呢?”伽尔德答到:“是5呀。”小孩又问道:“如果两条直角边分别5和7,那么这直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7平方。”小
1
(a+b)22
积等于
生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法释了,心理不是滋味。于是伽菲德不再散步,即回家,潜心探讨男孩给他留下的难。他经过反复的思考与演算,于弄清楚了其中的道理,并给出了洁的证明方法。1876年4月1日,伽菲德在《英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年,伽菲尔德就任美国第十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称“总
【证法4】(欧几里
做三个边长别为a、b、c的正方形,它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直上,连结BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE
∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD, ∴ΔFAB ≌ΔGAD,
∵ΔFAB的面积于1a,ΔGAD的面
2
2
∴ 矩形ADLM的面积 =a2.同可证,矩形MLEB的面积 =b2. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩ADLM的面积 + 形MLEB的面积 ∴ c2=a2+b2 ,即 a2+b2=c2. 【证法5】(利用相似三角
如图,在RtΔABC中,设角边AC、BC的长度分为a、b,斜边AB的长为c,过
在ΔADC和ΔACB中,
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o,∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
∴AD∶AC = AC ∶AB,即 AC2=AD?AB. 同理可
∴ AC2+BC2=(AD+DB)?AB=AB2,即 a2+
b2=c2
【证法6】(邹元
以a、b 直角边,以c为斜边做四全等的直角三角形,则每个直角角形的面积等1ab. 把这四个直角三角形
2
一条直线上,B、F、C三点在一条直线,C、G、D
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的
2
∴ a2+b2=c2.
【证法7】(利用切割线
在RtΔACB中,设直边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,B为圆心a为半作圆, 交AB及AB的
因为∠BCA = 90o,点C在⊙B上, 所以AC是⊙B 的切
AC2=AE?AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)= c2-a2,
即b2=c2-a2,∴ a2+b2=c2.
【证法8】(作直角三角形的
在RtΔACB中,直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtΔACB的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半
∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,
∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)
= CE+CD= r + r = 2r,即
a+b-c=2r,
∴ a+b=2r+c. ∴ (a+b)2=(2r+c)2,
即 a2+b2+2ab=4r2+rc+c2, ∵ S?ABC
=
1, ab2
()
∴ 2ab=4S?ABC,
又∵ S?ABC=S?AOB+S?BOC+S?AOC = 1cr+1ar+1br = 1(a+b+c)r
2
2
2
2
= 1(2r+c+c)r = r2+rc, 2
∴ 4(r2+rc)=4S?ABC, ∴ 4r2+rc=2ab,
∴ a2+b2+2ab=2ab+c2, ∴ a2+b2=c2.
【证法9】勾股定理的毕达
如图,作CN//BE交DE于N,
SADNM=2SΔADC,SACHK=2SΔABK,ΔADC≌Δ所
所以 SADNM + SMNEB = SACHK + SCBFG, 即 a2 + b2 = c2。
仔细地观察上述
(2)AF、BK、CM共点。
(3)CM平分GH。
()
F
(4)ΔADC≌ΔABK并没用到AC垂于BC,从而可得以下命题: 以ΔABC的边AC、BC
(ii) K、D、F共线。
(iii) C、D、A、K、H共;C、D、B、F、G也共圆。 (iv) BK、AF与AB边上的高三线共点。 (v) AB边上的高平
(vi) K、F到直线AB的距离
若给出勾股定理明的图中三个正方的中心,通
(vii) 如图,四
(viii) 如图,AO1、BO2、CO3共点。
M
四:直角三角形的
(1)勾股定理的推广——余弦定理
在ΔABC
证明:如图,过
C作CD垂
2故 b2 = a2– BD2
+ AD2 = a2–BD2 + (c – BD)2 = a2 + c2–2cBD = a2 + c2 –2accosB 。
同理可证其它二式。
以动态的点重新察余弦定理,D视为AB上的动点,而不要CD与AB直,则可得到斯德槐公式:
BDDC
+c2?-BD?DC, BCBC
其中BD、DC表示有
证明 由余弦
c2=AD2+BD2 – 2BD?ADcos∠ADB (1) b2=AD2+DC2 – 2AD?DCcos∠CDB
= AD2+DC2 + 2AD?DCcos∠ADB (2)
(1)×DC+(2)×BD得
b2?BD+c2?DC=AD2?BD+AD2?DC+BD2?DC+DC2?BD
=AD2?a+BD?DC?a
BDDC
+c2?-BD?DC 。 所以 AD2=b2?BCBC
斯德槐公式在算与三角形有关的线段的问题
(2)有关垂直的一个
以动态的点重观察余弦定理证明过程,将C视为动点,有 “CAB的垂线上的充分必要条
2222
定理:若PA–PB= QA–QB,
例1 设四边ABCD无外接,AB与CD的中垂线交于点P,BC与DA中垂线交于点Q,AC与BD
证明:根据三角形中线的计算
11
PM2=(PA2+PC2)-AC2,
2411PN2=(PB2+PD2)-BD2,24 11QM2=(QA2+QC2)-AC2,2411
QN2=(QB2+QD2)-BD2,24
因为 PA=PB,PC=PD,QA=QD,QC=QB,所以 PM2–PN2=QM2–QN2,所以PQ⊥MN。
例2 如,⊙O1⊙O2与ΔABC三边所在的直线相切,E、F、G、H切点。且EG、FH的延长线交于P点,求证:PA⊥BC。(1996年,全国高中数
证明:为AB是两圆
AD2=b2?
易知在ΔPEF中,∠PEF=900-
CBA
,∠PFE=900-,∠EPF=900-, 222PEPFb+c
== , BCAcococo22EF = b + c ,应用正弦定理,得
所以
BC-cos2PE2-PF2=(b+c)2
Acos2
2
cosB-cosC
=(b+c)2
1+cosA
cos2
(c-b)(b+c)2
利用余弦定理化简,得 PE-PF=。
a
2
2
另一方面,在ΔABE,ΔACF中应用
AE2=(p-a)2+c2+c(p-a)coBs,AF=(p-a)+b+b(p-a)coCs,
2
2
222
(c2-b2)(b+c)
利用余弦定理化简,得 AE-AF=。
a
所以PE2 – PF2 = AE2 – AF2,所以 PA⊥BC 。
例3 对于任意两圆,到此二圆的幂相等的点存,其轨迹是垂直
证明:设两圆⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2,点
的幂相等,则
O1P2-r12=O2P2-r22,
即 O1P2-O2P2=r12-r22。
所以P在一条与连心线垂直
定 设D、E、F分别ΔABC的边BC、CA、AB上的点,过D、E、F作所在边的垂线,所作垂线共点的充
例4 由三圆两两定的根轴共点或平行。 证:当三圆心共线
X、Y、Z,则 22
O1X2-XO2+O2Y2-YO3+O3Z2-ZO12
=r-r+r-r+r-r=0
2
12222232321
所以三根轴共点。
直角三角形
直角三角形
知识点一、锐角
1. 锐角三角
在 Rt △ ABC 中,∠ C 是直角,如图
(1)正弦:∠ A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦,记作 sinA ,
即
sinA===;
(2)余弦:∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦,记作 cosA ,
即 cosA===;
(3)正切:∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切,记作 tanA ,
即
tanA===;
锐角三函数:锐角 A 的正弦、余弦、正切都
(1)平方关系:sin 2A+cos2A=1; (2)商
3. 互余两角的三角
sinA=cos(90°-A) , cosA=sin(90°-A).
4. 特殊角的三
知识点二、解直
在直角三角形中,由已知元素求未知素的过程叫做
1. 三边之间
a 2+b2=c2(勾
2. 锐角之间
∠ A+∠ B=90°
3. 边角之间
sinA=, cosA=, tanA=
要点诠释:
解直角角形时, 只要道其中的两个元素 (至少有个边 ) , 就
知识点三、解直角三角形
1. 仰角和俯角:
在视线水平线所成的中, 视线在水平线上方的仰角; 视线在
2. 坡角和坡度:
坡面与水的夹角叫做坡角 . 坡面的铅直高度和水平宽的比叫做面的坡度 (即坡角 的
4. 方位角与
从某点的正北方向顺时针方向旋转到目方向所形成
从正北方向或正南向到目标方向所形成小于 90°
1.如图,直角坐标的原点 O 为心,以 1为半径作圆。若点 P 是圆上第一象限的一点,且 OP 与 x 轴正方组成的角为 α,则点 P 的坐
A 、 (cosα, 1) B 、 (1, sin α)
C 、 (sinα, cos α) D 、 (cosα, sin α)
2.在
A 、都缩 2倍; B 、都
C 、都没有变化;
D 、不能确定
6.在△ ABC 中,∠ C=90°, BC=3, sinA=,则 AC 的长是() A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、
6
7.已
A 、 B 、 C 、
D 、 1
1. (1)
sinA=,则 tanA=______.
7. (1)在 Rt △ ABC 中,∠ ACB=90°, CD ⊥ AB 于 D , BC=5, BD=3,则 sinA=_____,
cosA=_____, tanA=_____,
tanB=_____.
10. (1)(2010 山东东营) 如图,明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 之间的距离, 沿
(A) m ·sin 米 (B) m ·tan 米
(C) m ·cos 米
(D) 米
12.(湖北省襄
如图,张华同学在学校
点处测得旗杆顶部
点的仰角为
,旗杆底部
点的俯角为 . 若旗杆底部 点到建筑物
的水平距离 米,旗杆
米,则旗杆顶点 离
20.(安徽 ) 小站在 处放风筝,风飞到 处时的线长为 20米,这时测 得 , 若牵引线底端 离地面 1.5米, 求时风筝离地
投影与视图
知识点一、投影
1. 投影:
一般地, 用光照射物体, 某个平面上得到的影子叫做体的投影。 其中, 照射光叫 做投
2. 平行投影:
由平行光线形成投影是平行投影,物体在太阳光
3. 中心投影:
由同一 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中投影, 如灯泡
4. 正投影:
投影线垂直投影面产生的投影,
性质:当线平行于影面时, 它的投影长短不变, 当线段倾斜于影面时, 它正 投影线段变短,当线段垂直
知识点二、视图
1. 视图:
当我们从一角度观察一个物时, 所看到的图像叫做物的一个视。 视图也可以看 作物
2. 三视图:
(1)主视图:正面内得到的由前后观察物体的
(2)俯视图:在平面内得到的由上向观察物体的
(3)左视图:侧面得到的由左到观察物体的视
3. 三视图的位
主视图要在左边,它下方是俯视图,左视图
7.如图,箭头示投影线的方向,则图中圆柱
A .圆 B .圆柱 C .梯形 D .矩形
11. (广东省湛江市)将如图所示的 Rt △ ABC 绕直角边 BC 旋
是()
12. 如图 1是一些小相同的小正方体组成的几何,其主视图如图 2
22. 右是由四个同的小立方体组的立体图形的主视图和左视图,那么原体图形可 能 __________. (把图中正确的立体图形的序号都填在
25.(湖潜江课改 ) 小华在距离路 6米的地方, 发现自己在地面上的影是 2米, 如小华 的身高为 1.6,那么路灯
平移,旋转和轴对称
知识点一、平移
1、平移概念:
把一个形整体沿一方移动,得到一个新的图形,图的这种移动,叫
2、平移变换的性质
①对应段平行(或共线)且相等;对应点所连结的线段行且相等,因为经
沿同一方向移动了相同距离, 平移变换前后的两条应线段的四个端点
边形(四点共线除
②对应角分别
③平移的图形与原图形等,因为平移只改变图形位置,不改变图形的形状和
1、旋转概念:
把一个形绕着某一 O 转动一个角度的图形
动的角叫做旋转角。
2、中心对称与中心
中心对称:
把一个图形绕某一点旋 180°,它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关 于这个点对称或心对称, 这个点叫做对中心, 这两图形中的对应点叫做关于中心对称
中心对称图形:
把一个图绕着某一点旋转 180°,如果旋转后的形能够与
3、旋转变换的性质
图通过旋转, 图形中每一点绕着转中心沿相同的方旋转了同样大小的角度, 任 意一对应点与旋转中的连线都是旋转角, 应点到旋转中心的距离相等, 对线段相等, 对角相等,旋转过程中,图形的形状、大小都没有
知识点三、轴对称
1、轴对称与轴
轴对称:
把个图形沿某一条直折叠, 如果能够与一个图形重合, 那么就说这两个图形关 这条直线对称, 叫做这两个图形成轴对称, 这条直线叫对称轴, 折叠后重合的对应点, 叫
轴对称形:把一个图形沿某一条直线折叠, 直两旁的分能够互相重合, 这
2、轴对称变换
①关于直线对称的两个图形是
②如果两个图形于某直线对称,对称是对应点连
③两个图形于某直线称,如果它们对应段或延长线相交,那么交点在对称轴 . ④如果两图形的对应点连线被同直线垂直平
1. (1) (2010广东珠海 )在平面直角坐标系中,将点 P (-2,3)沿 x 轴方向向右平移 3个 单得到点 Q ,则点 Q 的坐
A.(-2,6) B.(-2,0) C.(-5,3) D.(1,3)
1. 下列图形中,既是轴对称图形,又中心对称图
1. (2010天津) 下列图形中,既可以看作是轴称图形,又可以看作
4. )如图 , 把矩形 沿 对折后使
A . 110°B . 115°
C . 120°D . 130°
9.如图, 绕点 逆
到
的位置,已知
,
则 等于()
A
. B
. C . D .
16.
)在如图所的单位正方形网格中,
3个单位后得到
(其
中 的 对 应 点 分 别
为
) ,则
21.
(浙江省嘉市)如图,正方形网格
角形(顶点都是
,将 绕点 按逆时针
得到
.
(1)在正方形网格中,作出 ;
(2) 设网格正方形的边长为 1, 求旋转过
路径长.
18. (本满分 9 ) 如图, 矩形 PMON 的边 OM , ON 分别在坐轴上, 将矩形 PMON 向右平移 4个
''''''''
→→→→
(, , , ) . 已知点 P 的坐标为
(-2, 3) 。 (1)请在右图的直角坐标系画出平移的矩形; (2)求直
(第 18题图)
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